Om een realistische reactie op een botsing van objecten te programmeren, moet je de behoud van impuls en energie gebruiken… en liefst begrijpen
Impuls (‘momentum’ in het Engels)
Stel je twee mannen voor, die even snel lopen. Eén van 60 kg en één van 120 kg. Als die twee op elkaar botsen, begrijp je dat ze een verschillende impact hebben. Met impuls kunnen we hun impact exact berekenen.
p = m * v -> impuls = massa * snelheid.
We passen dit toe op onze mannen (ik hou me hier niet bezig met de correcte eenheden):
p1 = 60 kg * 8 km/u = 480
p2 = 120 kg * 8 km/u = 960
Conclusie: de impuls van de tweede man is dubbel zo hoog als van de eerste man, een beproefde sumo-worstel-strategie.
Behoud van impuls
Dit betekent dat de totale impuls voor en na de botsing, gelijk zijn.
Energie
Energie wordt opgedeeld in statische en kinetische energie. Kinetische energie is de energie van een object in beweging en relevant voor ons.
E = 1/2 * m * v² -> Energie is massa, vermenigvuldigd met snelheid in het kwadraat, gedeeld door 2.
Behoud van energie
Ook voor energie geldt, dat de totale eneregie voor de botsing, gelijk is aan de totale energie na de botsing.
We rekenen uit
Voor de botsing
p1init = m1 * v1init
p2init = m2 * v2init
pInit = p1init + p2init -> de totale impuls
e1init = 1/2 * m1 * v1init²
e2init = 1/2 * m2 * v2init²
eInit = e1init + e2init -> de totale energie
Na de botsing
Tijdens de botsing werken er krachten in op de twee mannen. Als we deze krachten kennen, weten ook wat hun reactie zal zijn. Voor de berekening hebben we het behoud van impuls en energie nodig.
p1F = m1 * v1F
p2F = m2 * v2F
pF = p1F + p2Fe1F = 1/2 * m1 * v1F²
e2F = 1/2 * m2 * v2F²
eF = e1F + e2F
We passen het behoud van impuls toe:
pInit = pF = p (zie later)
m1 * v1init + m2 * v2init = m1 * v1F + m2 * v2F
m1(v1init – v1f) = m2(v2F – v2init)
We passen het behoud van energie toe:
eInit = eF
1/2 * m1 * v1init² + 1/2 * m2 * v2init² = 1/2 * m1 * v1F² + 1/2 * m2 * v2F²
m1(v1init² – v1F²) = m2(v2F² – v2init²)
m1(v1init + v1F)(v1init – v1F) = m2(v2F + v2init)(v2F – v2init) -> Factoren, weet je nog?’
We delen e door p om zo de snelheid v te kunnen bereken. Hè hè, reeds heel wat ballast kwijt.
v1init + v1F = v2F + v2init
v1init – v2init = v2F – v1F
We stellen het volgende:
p = pInit = pF -> behoud van impuls
v = v1init – v2init -> deze snelheden zijn gekend
Dan volgt :
p = m1v1F + m2v2F -> zie hoger
v = v2F – v1F
v1F = v2F – v
we combineren:
p = m1(v2F – v) + m2v2F
p = v2F(m1 + m2) – vm1
v2F = p + vm1 / m1 + m2
Het eindresultaat
We wilden de nieuwe snelheden voor beide mannen bereken, et voila!
v2F = p + vm1 / m1 + m2
v1F = (v2init + v2F) / v1init –> zie hoger
